Trojúhelníkový obklad je duálem šestihranného obkladu – pokud spojíte středy sousedních trojúhelníků, pak nakreslené segmenty dají šestihranný obklad. Symbol Schläfli pro trojúhelníkové parkety je , což znamená, že 6 trojúhelníků se sbíhá v každém vrcholu parkety.
Vnitřní úhel pravidelného trojúhelníku je 60 stupňů, takže šest trojúhelníků v jednom vrcholu dává dohromady 360 stupňů. Toto je jedna ze tří pravidelných rovinných obkladů. Další dvě mozaiky jsou šestihranné parkety a čtvercové parkety.
Související pojmy
Šestihranné parkety (šestihranné parkety) nebo šestiúhelníková mozaika – obkládání roviny stejnými pravidelnými šestiúhelníky umístěnými ze strany na stranu.
Jednotné obklady mohou existovat jak v euklidovské rovině, tak v hyperbolické rovině. Jednotné obklady souvisí s konečnými jednotnými mnohostěny, které lze považovat za jednotné obklady koule.
Dihedron je typ mnohostěnu sestávajícího ze dvou polygonálních ploch sdílejících společnou sadu hran. V trojrozměrném euklidovském prostoru je degenerovaný, pokud jsou jeho plochy ploché, zatímco v trojrozměrném sférickém prostoru lze za čočku považovat dihedron s plochými plochami, jehož příkladem je základní oblast prostoru čočky L(p,q) .
Symbol Schläfli je kombinatorická charakteristika pravidelného mnohostěnu, která se používá k popisu pravidelných mnohostěnů ve všech dimenzích. Pojmenován po švýcarském matematikovi Ludwigu Schläflim, který významně přispěl ke geometrii a dalším oblastem matematiky.
V geometrii je trojúhelníkový hranol hranol se třemi bočními plochami. Tento mnohostěn má jako plochy trojúhelníkovou základnu, jejíž kopie byla získána paralelním posunem a 3 plochy spojující odpovídající strany. Pravý trojúhelníkový hranol má pravoúhlé strany, jinak se hranol nazývá šikmý.
V geometrii je Wythoffova konstrukce nebo Wythoffova konstrukce metodou vytváření jednotných mnohostěnů nebo obkladů v rovině. Metoda je pojmenována po matematikovi W. A. Wiethoffovi. Wythoffova konstrukční metoda je často označována jako konstrukce kaleidoskopu.
V geometrii je sférický mnohostěn nebo sférický obklad takový obklad na kouli, ve kterém je povrch rozdělen velkými oblouky na ohraničené oblasti zvané sférické mnohoúhelníky. Hodně z teorie symetrických polyhedra používá sférické polyhedra.
V geometrii je 4-rozměrný polytop polytopem ve 3-rozměrném prostoru. Mnohostěn je spojený uzavřený obrazec, skládající se z mnohostěnných prvků menšího rozměru – vrcholů, hran, ploch (polygonů) a buněk (XNUMX-rozměrné mnohostěny). Každá tvář patří přesně dvěma buňkám.
Běžná čtyřiadvacetibuňka nebo jednoduše čtyřiadvacetibuňka nebo ikositetrahor (z jiného řeckého εἴκοσι – „dvacet“, τέτταρες – „čtyři“ a χώρος – „místo, prostor“), je jedním z pravidelných multi -buňky ve čtyřrozměrném prostoru.
V geometrii je zkrácení operace v prostoru libovolné dimenze, která odřízne vrcholy polytopu a ve které se místo vrcholů vytvoří nové plochy. Termín pochází z názvů Archimédových těles, které dal Kepler.
V geometrii je n-gonální hosohedron dlaždice digonů na kulovém povrchu tak, že každý takový digon má dva společné vrcholy (opačné body koule) s jinými digony.
Mnohostěn duální (nebo duální) k danému mnohostěnu je mnohostěn, ve kterém každá plocha původního mnohostěnu odpovídá vrcholu duálu, každý vrchol původního mnohostěnu odpovídá ploše duálu a každá hrana originálu mnohostěn odpovídá hraně duálu. Mnohostěn duální k duálnímu je totožný s originálem.
Petriho mnohoúhelník pro pravidelný mnohoúhelník v dimenzi n je prostorový mnohoúhelník, takže libovolné (n-1) po sobě jdoucí hrany (ale ne n) patří ke stejné (n-1)rozměrné ploše.
Vrcholový spoj mnohostěnu nebo vrcholový obrazec je mnohostěn o jeden rozměr menší, který se získá oříznutím původního mnohostěnu rovinou odříznutou od jednoho vrcholu.
Trihexagonální obklad je jedním z 11 jednotných obkladů na euklidovské rovině pravidelných mnohoúhelníků. Mozaika se skládá z pravidelných trojúhelníků a pravidelných šestiúhelníků uspořádaných tak, že každý šestiúhelník je obklopen trojúhelníky a naopak. Název obkladu pochází z toho, že kombinuje pravidelný šestihranný obklad a pravidelný trojúhelníkový obklad. Kolem každého vrcholu se střídají dva šestiúhelníky a dva trojúhelníky a hrany tvoří nekonečnou konfiguraci.
V geometrii je prostorový mnohoúhelník mnohoúhelník, jehož vrcholy nejsou koplanární. Prostorové polygony musí mít alespoň 4 vrcholy. Vnitřní povrch takových polygonů není jednoznačně určen.
Stellated polygon je mnohoúhelník, ve kterém jsou všechny strany a úhly stejné a vrcholy se shodují s vrcholy pravidelného mnohoúhelníku. Strany hvězdicového mnohoúhelníku se mohou vzájemně protínat. Existuje mnoho hvězdicových mnohoúhelníků nebo hvězd, včetně pentagramu, hexagramu, dvou heptagramů, octogramu, dekagramu a dodekagramu. Hvězdicové polygony lze získat současným prodloužením všech stran pravidelného mnohoúhelníku poté, co se protnou v jeho vrcholech s jejich vrcholy.
Snub kostka, nebo snub cube, je polopravidelný mnohostěn (Archimédovo tělo) s 38 plochami, složený ze 6 čtverců a 32 pravidelných trojúhelníků. Každý z jeho 24 identických vrcholů má jednu čtvercovou plochu a čtyři trojúhelníkové plochy. Trojúhelníkové plochy jsou rozděleny do dvou skupin: 8 z nich je obklopeno pouze dalšími trojúhelníkovými, zbývajících 24 je obklopeno čtvercem a dvěma trojúhelníkovými.
Voštiny se obvykle zvažují v obvyklém euklidovském („plochém“) prostoru. Mohou být také postaveny v neeuklidovských prostorech, jako jsou hyperbolické plástve. Na jeho ohraničenou kouli lze promítnout jakýkoli konečný jednotný mnohostěn, čímž vznikne v kulovém prostoru jednotná plástev.
Složení mnohostěnů je obrazec složený z nějakého mnohostěnu se společným středem. Spoje jsou XNUMXD analogy polygonálních spojů, jako je hexagram.
V geometrii je formování tvaru hvězdy procesem rozpínání mnohoúhelníku (v prostoru dimenze 2), nebo mnohostěnu v prostorech dimenze 3 a vyšších, s vytvořením nového útvaru.
V geometrii se obrazec nazývá chirální (a říká se, že má chiralitu), pokud se neshoduje se svým zrcadlovým obrazem, nebo přesněji, nelze s ním kombinovat pouze rotace a paralelní translace. Chirální postava a její zrcadlový obraz se nazývají enantiomorfové. Slovo chiralita pochází z jiné řečtiny. χειρ (dědic) – „ruka“. Je to nejznámější chirální objekt. Slovo enantiomorf pochází ze starověké řečtiny. εναντιος (enantios) – „opak“ a μορφη (morfe) – „forma“. Nechirální.
Zkrácený kuboktaedr, zkrácený kuboktaedr je polopravidelný mnohostěn (archimedovské těleso) s 12 čtvercovými plochami, 8 pravidelnými šestihrannými plochami, 6 pravidelnými osmihrannými plochami, 48 vrcholy a 72 hranami. Protože každá z tváří mnohostěnu má středovou symetrii (ekvivalent 180° rotace), je zkrácený kuboktaedr zonohedr.
V euklidovské geometrii je narovnání nebo úplné zkrácení proces zkrácení mnohostěnu označením středu všech jeho hran a odříznutím všech vrcholů až k těmto bodům. Výsledný mnohostěn bude ohraničen fasetami (fasetami dimenze n-1, v trojrozměrném prostoru se jedná o polygony) vrcholových tvarů a zkrácenými fasetami původního mnohostěnu. Operace usměrnění je označena jednopísmenným symbolem r. Takže například r je rektifikovaná krychle, tzn. kuboktaedru.
Schwarzův trojúhelník je reprezentován třemi racionálními čísly (pqr), z nichž každé udává úhel ve vrcholu. Hodnota n/d znamená, že úhel ve vrcholu trojúhelníku je roven d/n přímého úhlu. 2 znamená pravoúhlý trojúhelník. Jsou-li tato čísla celá čísla, nazývá se trojúhelník Möbiův trojúhelník a odpovídá obkladu bez překrytí a grupa symetrie se nazývá trojúhelníková grupa. Na kouli jsou 3 Möbiovy trojúhelníky a ještě jedna jednoparametrová rodina. V letadle jsou tři.
Běžná šestnáctibuňka nebo jednoduše šestnáctibuňka je jednou z běžných multibuňek ve čtyřrozměrném prostoru. Je také známý pod jinými názvy: hexadekahor (ze starověkého Řecka ἕξ – „šest“, δέκα – „deset“ a χώρος – „místo, prostor“), čtyřrozměrný hyperoktaedr (protože je analogem trojrozměrného osmistěnu ), čtyřrozměrný kokub (protože jde o duální čtyřrozměrnou hyperkrychli), čtyřrozměrný ortoplex.
Pravidelné čtyřrozměrné mnohostěny jsou čtyřrozměrné analogy pravidelných mnohostěnů v trojrozměrném prostoru a pravidelných mnohoúhelníků v rovině.
V geometrii je zkrácený čtvercový obklad polopravidelný obklad pravidelných mnohoúhelníků v euklidovské rovině s jedním čtvercem a dvěma osmiúhelníky v každém vrcholu. Toto je jediná dlaždice pravidelných konvexních polygonů, která obsahuje osmiúhelníky, které se navzájem dotýkají. Symbol Schläfli obkladu je t.
Polyiamond (anglicky polyiamond) nebo trojúhelníkové monstrum (anglicky triangulární zvíře) je geometrický obrazec ve formě mnohoúhelníku složeného z několika stejných rovnostranných trojúhelníků, které k sobě přiléhají podél okrajů. Polyamongy lze považovat za konečné podmnožiny trojúhelníkových parket s propojeným interiérem.
V geometrii je polytop (například polytop, mnohoúhelník nebo dlaždice) izogonální nebo vertex-tranzitivní, pokud jsou, zhruba řečeno, všechny jeho vrcholy ekvivalentní. Z toho vyplývá, že všechny vrcholy jsou obklopeny stejným druhem ploch ve stejném (nebo obráceném) pořadí a se stejnými úhly mezi odpovídajícími plochami.
Grupa symetrie (také grupa symetrie) nějakého objektu (mnohostěnu nebo množiny bodů z metrického prostoru) je skupina všech pohybů, pro které je daný objekt invariantní, s kompozicí jako grupovou operací. Zpravidla se uvažují množiny bodů n-rozměrného euklidovského prostoru a pohyby tohoto prostoru, ale v obecnějších případech si pojem grupa symetrie zachovává svůj význam.
Polopravidelné mnohostěny – obecně se jedná o různé konvexní mnohostěny, které sice nejsou pravidelné, ale mají některé své rysy, např.: všechny plochy jsou si rovny, nebo jsou všechny plochy pravidelné mnohoúhelníky, nebo existují určité prostorové symetrie. Definice se může lišit a zahrnuje různé typy mnohostěnů, ale především sem patří Archimédova tělesa.
V geometrii je vrchol typem bodu, kde se sbíhají dvě křivky, dvě čáry nebo dvě hrany. Z této definice vyplývá, že bod, ve kterém se dva paprsky sbíhají a svírají úhel, je vrchol a také rohové body mnohoúhelníků a mnohostěnů.
Mnohostěn o rozměru 3 nebo více se nazývá izoedrický nebo tranzitivní, pokud jsou všechny jeho stěny stejné. Přesněji řečeno, všechny plochy musí být nejen shodné, ale musí být tranzitivní, to znamená, že musí ležet na stejné symetrické dráze. Jinými slovy, pro všechny plochy A a B musí existovat celotělová symetrie (skládající se z rotací a odrazů), která mapuje A až B. Z tohoto důvodu mají konvexní izoedrické polytopy tvar pravidelných kostek.
Pravidelné n-rozměrné polyhedra jsou polytopy n-rozměrného euklidovského prostoru, které jsou v určitém smyslu nejvíce symetrické.
Hyperoktaedr je geometrický útvar v n-rozměrném euklidovském prostoru: pravidelný polytop duální k n-rozměrné hyperkrychli. Další názvy: kokub, ortoplex, cross-polytope.
Zkosení nebo řezání hran v geometrii je topologická operace, která transformuje mnohostěn na jiný mnohostěn. Operace je podobná protahování, kdy se obličeje oddalují od středu. U XNUMXD mnohostěnů přidá operace zkosení novou šestihrannou plochu na místo každé původní hrany.
Pythagorejský obklad (obklad se dvěma čtverci) je obklad euklidovské roviny se čtverci dvou různých velikostí, kde se každý čtverec svými čtyřmi stranami dotýká čtyř čtverců různé velikosti. Na základě této mozaiky je možné (vizuálně) dokázat Pythagorovu větu, pro kterou byla mozaika nazývána Pythagorovou. Mozaika se často používá jako vzor pro dlaždicové podlahy. V tomto kontextu je dlaždice také známá jako vzor třídy.
V hyperbolické geometrii je homogenní (pravidelný, kvazipravidelný nebo polopravidelný) hyperbolický obklad od okraje k okraji vyplnění hyperbolické roviny pravidelnými polygony s vlastností vrcholové tranzitivity (jedná se o vrcholově tranzitivní obklad, izogonální, tzn. je pohyb, který přenese jakýkoli vrchol do kteréhokoli jiného). To znamená, že všechny vrcholy jsou shodné a obklad má vysoký stupeň rotační a translační symetrie.
Desetiúhelník (pravidelný desetiúhelník – desetiúhelník) je mnohoúhelník s deseti úhly a deseti stranami.
Konvexní mnohoúhelník je mnohoúhelník, jehož všechny body leží na stejné straně libovolné přímky procházející jeho dvěma sousedními vrcholy.
Snub čtvercový obklad je polopravidelný obklad roviny. V každém vrcholu se sbíhají tři trojúhelníky a dva čtverce. Symbol Schläfli mozaiky je s.
V matematice je grupa trojúhelníku grupa, kterou lze geometricky reprezentovat postupnými odrazy o stranách trojúhelníku. Trojúhelník může být obyčejný euklidovský trojúhelník, trojúhelník na kouli nebo hyperbolický trojúhelník. Libovolná trojúhelníková grupa je grupa symetrie parkety shodných trojúhelníků ve dvourozměrném prostoru, na kouli nebo na Lobachevského rovině (viz také článek o hyperbolické rovině).
Konfigurace čar (neboli obklad roviny čarami) je obklad roviny tvořený množinou čar.
Pravidelný mnohoúhelník je konvexní mnohoúhelník, ve kterém jsou všechny strany stejné a všechny úhly mezi sousedními stranami jsou stejné.
Parkety nebo obklady – rozdělení roviny mnohoúhelníky (nebo prostoru mnohostěny) bez mezer a přesahů.
Vzhledem k topologickému prostoru a akční skupině na něm tvoří obrazy jediného bodu působením akční skupiny akční dráhy. Základní oblast je podmnožina prostoru, která obsahuje přesně jeden bod z každé oběžné dráhy. Dává geometrickou realizaci abstraktního souboru zástupců drah.
Mnohostěn nebo mnohostěn je obvykle uzavřená plocha tvořená mnohoúhelníky, někdy se však nazývá i těleso ohraničené touto plochou.
V geometrii je kosočtvercový obklad, naklápěcí bloky, vratné krychle nebo kubická mřížka obkladem identických 60° kosočtverců v euklidovské rovině. Každý kosočtverec má dva úhly 60° a dva 120°. Takovým kosočtvercům se někdy říká diamanty. Sady tří kosočtverců jsou v kontaktu s vrcholy s úhlem 120° a sady po šesti jsou v kontaktu s vrcholy s úhlem 60°.
V geometrii je snub biklinoid nebo siamský dvanáctistěn trojrozměrný konvexní mnohostěn s dvanácti pravidelnými trojúhelníky jako tvářemi. Mnohostěn není pravidelný, protože v některých vrcholech se setkávají čtyři plochy a v jiných pět ploch. Mnohostěn je dvanáctistěn, jeden z osmi deltahedrů (konvexní mnohostěn s pravidelnými trojúhelníkovými plochami) a jeden z 92 Johnsonových mnohostěnů (heterogenní konvexní mnohostěny s pravidelnými trojúhelníky).
Trojúhelníkové parkety (trojúhelníkové parkety) Nebo trojúhelníková mozaika – jedná se o obklad roviny se stejnými pravidelnými trojúhelníky umístěnými ze strany na stranu.
Trojúhelníkový obklad je duálem šestihranného obkladu – pokud spojíte středy sousedních trojúhelníků, pak nakreslené segmenty dají šestihranný obklad. Symbol Schläfli pro trojúhelníkové parkety je , což znamená, že 6 trojúhelníků se sbíhá v každém vrcholu parkety.
Vnitřní úhel pravidelného trojúhelníku je 60 stupňů, takže šest trojúhelníků v jednom vrcholu dává dohromady 360 stupňů. Toto je jedna ze tří pravidelných rovinných obkladů. Další dvě mozaiky jsou šestihranné parkety a čtvercové parkety.
Anglický matematik Conway nazval obklady deltill (delta mozaika), protože má tvar řeckého písmene delta (A). Trojúhelníkové mozaikování lze také nazvat kis-hexagonální mozaikování použitím operace kis, která přidává centrální vrchol a trojúhelníky a rozbíjí plochy šestihranného mozaikování.
Jednotné barvy
Existuje 9 různých jednotných barev trojúhelníkového obkladu (podle barev 6 trojúhelníků kolem vrcholu – 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213). Tři z nich lze získat od ostatních změnou barev – 121314 a 111212 z 111112 kombinací 121213 a 1, zatímco 3 se získá z 111213.
Existuje jedna třída Archimedova zbarvení, 111112, (označená *), ve které zbarvení není 1-homogenní a obsahuje střídající se řady trojúhelníků, ve kterých je zbarvena každá třetina. Dané zbarvení je 2-homogenní a takových zbarvení je nekonečně mnoho, protože taková zbarvení jsou určena libovolnými posuny řádků.
Mříž A2 a balení kruhů
Uspořádání vrcholů trojúhelníkového obkladu se nazývá mřížka A2. Je to 2-rozměrná verze symplektické plástve.
Mřížka A*
2 (také nazývaný A3
2) lze zkonstruovat jako spojení tří mřížek A2 a je ekvivalentní mřížce A2.
Vrcholy trojúhelníkové mozaiky jsou středy nejhustšího uspořádání kruhů. Jakýkoli kruh je v kontaktu s 6 dalšími kruhy (kontaktní číslo). Hustota balení je π 12 >>>, což je asi 90,69 %. Vzhledem k tomu, že spojení tří mřížek A2 bude opět mřížkou A2, lze kruhy vybarvit ve třech barvách.
Buňka Voronoiova diagramu trojúhelníkového obkladu je šestiúhelník, takže Voronoiův obklad, šestihranný obklad, přímo souvisí s balením kruhů.
Geometrické možnosti
Trojúhelníkové obklady mohou být totožné s topologií pravidelného obkladu (6 trojúhelníků v každém vrcholu). Existuje 5 vertex-tranzitivních variant s identickými plochami (face-tranitive). Z hlediska symetrie mají všechny plochy stejnou barvu a zbarvení na obrázcích představuje pozici v mřížce.
scalenský trojúhelník
symetrie p2
scalenský trojúhelník
symetrie pmg
Rovnoramenný trojúhelník
symetrie
Pravoúhlý trojuhelník
symetrie
pravoúhlý trojuhelník
symetrie p6m
Související mnohostěny a obklady
Ploché obklady souvisí s mnohostěny. Umístěním menšího počtu trojúhelníků na každý vrchol získáme prázdný prostor, který nám umožní ohnout do tvaru jehlanu. Odtud můžete získat pravidelné mnohostěny: pět, čtyři a tři trojúhelníky na vrcholu dávají dvacetistěn, osmistěn a čtyřstěn.
Tento obklad je topologicky příbuzný (jako součást sekvence) k pravidelným mnohostěnům se symboly Schläfli.
Tento obklad je topologicky příbuzný (jako součást sekvence) semiregulárnímu mnohostěnu s konfigurací líce Vn.6.6.
Konstrukce Wythoff z šestihranných a trojúhelníkových obkladů
Stejně jako jednotné mnohostěny existuje osm jednotných obkladů založených na pravidelných šestiúhelníkových obkladech (nebo dvojitých trojúhelníkových obkladech).
Pokud nakreslíte původní dlaždice obličeje červeně, původní vrcholy (výsledné polygony) žlutě a původní hrany (výsledné polygony) modře, existuje 8 tvarů, z nichž 7 je topologicky odlišných. (Zkrácená trojúhelníková mozaika topologicky identické s šestihranným obkladem.)
Přidružená pravidelná komplexní nekonečna
Existují 4 pravidelné komplexní apeirogony se stejnými šestiúhelníkovými vrcholy dlaždic. Hrany pravidelných komplexních apeirogonů mohou obsahovat 2 nebo více vrcholů. Správné apeirogony pq>r mají omezení: 1/p + 2 /q + 1 /r = 1. Hrany mají p vrcholy a vrcholová čísla jsou r– čtverce.
První apeirogon se skládá ze 2 hran, další dva mají trojúhelníkové hrany, poslední má překrývající se šestihranné hrany.
Ostatní trojúhelníkové obklady
Existují také tři obklady Laves sestávající z trojúhelníků stejného typu:
